Beranda / Peradaban / Ilmu Hisab Menentukan Posisi Bulan (2)

Menentukan Posisi Bulan (2)

Pada tulisan sebelumnya (Menghitung Posisi Bulan, edisi tanggal 9/7), penulis telah menjelaskan cara menghitung posisi bulan berdasarkan algoritma Brown. Penulis juga sudah melengkapinya dengan file MS Excel cara menghitung posisi bulan berdasarkan algoritma Brown yang dapat didownload di

http://www.4shared.com/file/116396119/a30e2d26/Posisi-Bulan.html

Untuk keperluan praktis, algoritma Brown sudah cukup akurat untuk menentukan posisi bulan. Pada kesempatan ini, penulis ingin menyajikan cara menghitung posisi bulan berdasarkan algoritma Meeus. Dengan algoritma Meeus, maka posisi bulan dapat ditentukan lebih akurat lagi. Perbedaan antara algoritma Meeus dengan Brown adalah pada algoritma Meeus, suku-suku koreksi yang dihitung jumlahnya lebih banyak daripada algoritma Brown. Karena melibatkan suku-suku koreksi yang lebih banyak, karena itu algoritma Meeus lebih akurat.

Sebagai perbandingan, untuk menghitung bujur ekliptika bulan, Brown hanya menggunakan 14 suku koreksi sedangkan Meeus 62 suku koreksi. Suku koreksi Brown terkecil untuk menghitung bujur ekliptika bulan adalah 36 detik busur, sedangkan Meeus adalah berorde 1 detik busur (1 detik busur = 1/3600 derajat).

Untuk menghitung lintang ekliptika bulan, Brown hanya menggunakan 8 suku koreksi sedangkan Meeus 66 suku koreksi. Suku koreksi Brown terkecil untuk menghitung lintang ekliptika bulan adalah 11 detik busur, sedangkan Meeus adalah berorde 0,4 detik busur.

Untuk menghitung jarak bumi-bulan, Brown menggunakan cara menghitung sudut paralaks bulan sebanyak 6 suku koreksi. Sedangkan Meeus menggunakan metode langsung dengan 46 suku koreksi. Suku koreksi Meeus terkecil untuk menghitung jarak bumi-bulan adalah dalam orde 1 km.

Algoritma Meeus

Berikut ini metode cara menentukan posisi bulan dengan algoritma Meeus. Perlu diketahui, metode ini mengambil kerangka acuan geosentrik (pusat bumi). Artinya, posisi bulan yang dalam hal ini diwakili oleh titik pusat bulan diukur dari titik pusat bumi.

Misalnya kita akan menghitung posisi bulan (bujur ekliptika, lintang ekliptika dan jarak bumi-bulan) pada waktu tertentu. Jika waktu tersebut masih dalam waktu lokal (misalnya WIB), maka harus dikonversi ke waktu dalam UT (atau GMT). Selanjutnya waktu dalam UT ini dikonversi menjadi Julian Day (JD). Agar menjadi JDE (Julian Day Ephemeris) dimana waktu dinyatakan dalam TD, maka JD harus ditambah dengan Delta_T. Selanjutnya JDE diubah menjadi T yang dirumuskan T = (JDE – 2451545)/36525. Besaran T tidak lain adalah banyaknya abad (century) dihitung sejak tanggal 1 Januari 2000 pukul 12 siang TD.

Dari besaran T inilah, akan dihitung banyak besaran yang lain. Pertama, dihitung lima buah sudut (L’, D, M, M’ dan F) bersatuan derajat yang rumusnya terdapat pada lampiran di bawah. Kelima sudut tersebut bergantung pada nilai T. Selanjutnya dihitung tiga jenis sudut argumen A1, A2 dan A3. Tidak lupa dihitung pula faktor E yang ada hubungannya dengan eksentrisitas orbit bumi mengitari matahari.

Selanjutnya, koreksi bujur ekliptika dapat dihitung berdasarkan penjumlahan dari suku-suku A*SIN(K1*D + K2*M + K3*M’ + K4*F). Banyak suku sinus ini untuk menghitung koreksi bujur ekliptika adalah 59 suku. Setiap suku memiliki koefisien-koefisien A, K1, K2, K3 dan K4 masing-masing. Sebagai contoh, untuk nilai koefisien A terbesar yaitu 6288774, angka-angka K1, K2, K3 dan K4 berturut-turut adalah 0, 0, 1, 0. Jadi suku tersebut nilainya adalah 6288774*SIN(M’). Sebagai catatan, angka 6288774 menunjukkan koefisien sebesar 6,288774 derajat karena nantinya jumlah seluruh koreksi bujur ekliptika dibagi dengan satu juta. Berikutnya, koefisien A terbesar berikutnya adalah 1274027 (1,274027 derajat) dengan K1 = 2, K2 = 0, K3 = -1 dan K4 = 0 sehingga suku berikutnya menjadi 1274027*SIN(2*D – M’). Akhirnya suku ke 59 adalah 294*SIN(2*D + 3*M’). Disini, koefisien 294 menunjukkan 0,000294 derajat atau sama dengan 1,06 detik busur. Ini menunjukkan bahwa ketelitian yang ingin diperoleh dengan algoritma Meeus cukup tinggi, karena suku terkecil adalah berorde satu detik busur. Selanjutnya 59 suku tersebut dijumlahkan dan hasilnya adalah koreksi bujur ekliptika.

Disini ada sedikit catatan tambahan untuk suku-suku pada koreksi bujur ekliptika. Jika nilai K2 tidak sama dengan nol, maka nilai suku tersebut harus dikalikan dengan faktor eksentrisitas orbit bumi E. Jika K2 sama dengan 1 atau -1, maka dikalikan dengan E. Jika K2 sama dengan 2 atau -2, maka dikalikan dengan E*E. Misalnya, suku kelima memiliki nilai A = -185116 dan K2 = 1 (K1 = K3 = K4 = 0). Jadi suku kelima tersebut bentuknya -185116*E*SIN(M). Di atas telah disebutkan koreksi bujur ekliptika sebanyak 59 suku. Karena total sebesar 62 suku, maka ada tiga suku tambahan yang bersumber dari sudut A1 dan A2.

Jika seluruh suku sudah dihitung dan dijumlahkan, maka koreksi bujur ekliptika (bersatuan derajat) = Total suku / 1000000.

Berikutnya koreksi lintang ekliptika bulan dapat dihitung dengan cara yang sama seperti pada koreksi bujur ekliptika, yaitu penjumlahan dari suku-suku A*SIN(K1*D + K2*M + K3*M’ + K4*F). Bentuk suku sinus ini berjumlah sebanyak 60 suku. Suku dengan A terbesar adalah 5128122 dan K4 = 1 (K1 = K2 = K3 = 0). Jadi suku ini berbentuk 5128122*SIN(F). Koefisien 5128122 menunjukkan koreksi suku lintang sebesar 5,128122 derajat (dibagi dengan satu juta), dimana angka sebesar 5 derajat tersebut adalah sudut kemiringan bidang orbit bulan mengitari bumi terhadap bidang ekliptika. Adapun koefisien terkecil adalah 107 yang setara dengan 0,000107 derajat atau 0,4 detik busur.

Sama halnya seperti pada koreksi bujur ekliptika, jika pada suku koreksi lintang ekliptika bulan angka K2 tidak nol maka suku tersebut perlu dikalikan dengan faktor eksentrisitas orbit E. Karena total suku koreksi lintang ekliptika bulan adalah 65 suku, maka terdapat lima buah suku tambahan lainnya untuk menghitung koreksi lintang ekliptika yang bersumber dari sudut L’, A1 dan A3.

Jika seluruh suku sudah dihitung dan dijumlahkan, maka koreksi lintang ekliptika (bersatuan derajat) = Total suku / 1000000.

Terakhir, koreksi jarak bumi-bulan dapat dihitung dengan penjumlahan suku-suku cosinus yang berbentuk A*COS(K1*D + K2*M + K3*M’ + K4*F). Bentuk suku cosinus ini sebanyak 46 suku. Koefisien A terbesar adalah -20905355 dimana koefisien K1 = K2 = K4 = 0 dan K3 = 1, sehingga suku tersebut berbentuk -20905355*COS(M’). Angka -20905355 ini bersatuan meter atau jika dibulatkan hampir sebesar -21000 km. Perlu diketahui, jarak rata-rata bumi-bulan adalah 385000 km. Jika koefisien -21000 km ini dominan, maka jarak minimum bumi-bulan adalah sekitar 385000 – 21000 = 364000 km, sedangkan jarak maksimum bumi-bulan adalah sekitar 385000 + 21000 = 406000 km.

Rentang jarak minimum dan maksimum tersebut tidak tepat benar, karena perhitungan di atas baru memperhitungkan satu suku saja walaupun suku yang terbesar, padahal kenyataannya pada algoritma Meeus ini terdapat 46 suku koreksi. Sebenarnya, jarak minimum bumi-bulan adalah sekitar 356000 km, sedangkan jarak maksimum bumi-bulan adalah sekitar 406000 km. Disini sekurangnya dapat kita pahami bahwa jarak bumi-bulan cukup besar bervariasi. Akibatnya, saat jaraknya minimum maka bulan tampak besar, sedangkan saat jaraknya maksimum bulan tampak lebih kecil. Jika dibandingkan dengan jarak bumi-matahari yang tidak banyak bervariasi, hal inilah yang menyebabkan mengapa pada peristiwa gerhana matahari, kadang bentuknya total dan kadang bentuknya cincin. Secara rata-rata sudut jari-jari bulan hampir sama dengan sudut jari-jari matahari. Namun gerhana cincin akan terjadi ketika bulan jauh dari bumi, sedangkan gerhana total terjadi saat bulan lebih dekat.

Koefisien suku koreksi jarak bumi-bulan yang terkecil adalah 1117 yang setara dengan jarak 1 km. Jika seluruh suku sudah dihitung, maka koreksi jarak bumi-bulan (bersatuan km) = Total suku / 1000.

Akhirnya, setelah koreksi bujur ekliptika bulan, koreksi lintang ekliptika bulan dan koreksi jarak bumi-bulan dihitung, diperoleh posisi bulan menurut algoritma Meeus sebagai berikut.

  • Bujur ekliptika bulan sejati (true longitude) bersatuan derajat = L’ + Koreksi bujur ekliptika.
  • Lintang ekliptika bulan (beta) bersatuan derajat = Koreksi lintang ekliptika.
  • Jarak bumi-bulan bersatuan km = 385000,56 + Koreksi jarak.
  • Sudut Paralaks bulan (Phi) = ASIN(6378,14/Jarak bumi-bulan)

Pada rumus bujur bulan di atas, perlu juga dihitung faktor nutasi atau faktor osilasi sumbu rotasi bumi di sekitar sumbu rata-rata rotasi bumi. Proyeksi dari faktor nutasi ke bidang ekliptika menghasilkan nutasi bujur dan nutasi kemiringan sumbu rotasi bumi. Jika nutasi bujur ditambahkan pada bujur bulan sejati (true longitude), hasilnya adalah bujur bulan yang nampak (apparent longitude).

Contoh:

Tentukan bujur ekliptika bulan, lintang ekliptika bulan, right ascension bulan dan deklinasi bulan pada tanggal 17 Nopember 2009 pukul 17:49:43 WIB. Tentukan pula azimuth dan true altitude bulan jika dilihat dari Jakarta (6:10 LS, 106:51 BT, UT + 7). Sebagai catatan, tanggal tersebut menunjukkan akhir bulan Dzulqa’dah 1430 H dan waktu tersebut menunjukkan saat maghrib di Jakarta.

Jawab:

  • Tanggal 17 Nopember 2009 pukul 17:49:43 WIB = pukul 10:49:43 UT. Karena Delta T = 66,6 detik maka waktu tersebut sama dengan 17 Nopember 2009 pukul 10:50:49,6 TD yang bersesuaian dengan Julian Day Ephemeris JDE = 2455152,951964.
  • T = (JDE – 2451545)/36525 = 0,098780341233. Dengan nilai T tersebut, selanjutnya besaran-besaran berikut dapat dihitung.
  • Bujur ekliptika rata-rata bulan = 238,121990 derajat.
  • Total suku bujur ekliptika bulan = 4783057 sehingga koreksi bujur ekliptika bulan = 4,783057 derajat.
  • Total suku lintang ekliptika bulan = -3879992 sehingga koreksi lintang ekliptika bulan = -3,879992 derajat.
  • Koreksi jarak bumi-bulan = 6750,5 km.
  • Bujur ekliptika bulan sesungguhnya = 238,121990 + 4,783057 = 242,905047 derajat
  • Koreksi nutasi bujur = 0,003910 derajat.
  • Bujur ekliptika bulan nampak (Lambda) = 242,905047 + 0,003910 = 242,908956 derajat = 242:54:32 derajat atau 242 derajat 54 menit busur 32 detik busur.
  • Lintang ekliptika bulan (Beta) = koreksi lintang ekliptika bulan = -3,879992 derajat = minus 3:52:48 derajat = minus 3 derajat 52 menit busur 48 detik busur.
  • Jarak bumi-bulan = 385000,56 – 6750,5 = 391751,1 km.
  • Dari jarak bumi-bulan ini, dapat dihitung sudut paralaks bulan = ASIN(Jari-jari bumi/Jarak bumi-bulan) = 0:55:58 derajat (55 menit busur 58 detik busur).
  • Juga, sudut jari-jari bulan, yaitu 0:15:15 derajat = 15 menit busur 15 detik busur.
  • Selanjutnya dengan memperhitungkan faktor nutasi kemiringan sumbu rotasi bumi, nilai epsilon (kemiringan sumbu rotasi bumi terhadap sumbu bidang ekliptika) adalah 23,438986 derajat.
  • Dengan menggunakan transformasi koordinat dari koordinat ekliptika geosentrik (Lambda dan Beta) ke koordinat ekuator geosentrik (Alpha dan Delta), diperoleh Right Ascension Bulan (Alpha) = 240,033236 derajat atau pukul 16:00:08, serta Deklinasi Bulan (Delta) = -24,544630 derajat = minus 24:32:41 derajat.
  • Sementara itu, untuk waktu pukul 17:49:43 WIB tersebut serta koordinat lintang di Jakarta, dapat dihitung waktu sidereal lokal (Local Sidereal Time) = pukul 21,727398.
  • Sehingga, hour angle (HA) = LST – Alpha = 85,877730 derajat.
  • Akhirnya dengan transformasi koordinat dari ekuator geosentrik (Delta dan HA yang menggantikan Alpha) ke horisontal geosentrik (Azimuth, Altitude) diperoleh hasil Azimuth Bulan = 245,893370 derajat = 245:53:36 derajat. Altitude Bulan = 6,294215 derajat = 6:17:39 derajat.

Hasil posisi-posisi bulan di atas dapat dituliskan dengan lebih ringkas sebagai berikut.

  • Bujur ekliptika geosentrik nampak (Lambda) = 242:54:32 derajat.
  • Lintang ekliptika geosentrik nampak (Beta) = minus 3:52:48 derajat.
  • Jarak bumi-bulan geosentrik = 391751,1 km.
  • Sudut paralaks bulan = 0:55:58 derajat.
  • Sudut jari-jari bulan = 0:15:15 derajat.
  • Right Ascension geosentrik (Alpha) = pukul 16:00:08.
  • Deklinasi geosentrik (Delta) = minus 24:32:41 derajat.
  • Azimuth "geosentrik" bulan dilihat dari jakarta = 245:53:36 derajat.
  • Altitude sejati "geosentrik bulan dilihat dari Jakarta = 6:17:39 derajat.

Pembaca dapat memperoleh hasil di atas dengan cara memasukkan angka-angka pada file MS Excel Posisi-Bulan-Matahari-Algoritma Meeus yang bisa didownload di

http://www.4shared.com/file/132303792/742cb339/Posisi-Bulan-Matahari-Algoritma-Meeus.html

Data yang dimasukkan adalah Lintang Jakarta S 6:10:0, Bujur Jakarta E 106:51:0, Zona waktu lokal 7 jam, Tanggal 17 Bulan 11 Tahun 2009, Jam 17 Menit 49 Detik 43. Dengan mengisikan data-tersebut, akan diperoleh hasil di atas.

Beberapa catatan

Pertama, hasil posisi bulan menurut algoritma Meeus di atas sangat mirip dengan hasil posisi bulan menurut algoritma ELP 2000. Menurut algoritma ELP 2000, untuk waktu dan koordinat tempat yang sama, diperoleh hasil sebagai berikut.

  • Bujur ekliptika geosentrik nampak (Lambda) = 242:54:32 derajat.
  • Lintang ekliptika geosentrik nampak (Beta) = minus 3:52:48 derajat.
  • Jarak bumi-bulan geosentrik = 391748,6 km.
  • Sudut paralaks bulan = 0:55:58 derajat.
  • Sudut jari-jari bulan = 0:15:15 derajat.
  • Right Ascension geosentrik (Alpha) = pukul 16:00:08.
  • Deklinasi geosentrik (Delta) = minus 24:32:41 derajat.
  • Azimuth "geosentrik" bulan dilihat dari Jakarta = 245:53:36 derajat.
  • Altitude sejati "geosentrik bulan dilihat dari Jakarta = 6:17:39 derajat.

Ternyata, hasil yang ditunjukkan antara algoritma Meeus dengan ELP 2000 praktis sama, kecuali pada jarak bumi-bulan geosentrik yang berbeda hanya sekitar 3 km. Perbedaan ini disebabkan suku-suku koreksi pada algoritma Meeus tidak sebanyak pada algoritma ELP 2000.

Kedua, data-data di atas dihitung dengan menggunakan kerangka acuan geosentrik, artinya diukur menurut pusat bumi. Demikian juga azimuth bulan dan altitude bulan di atas juga diukur menurut kerangka acuan geosentrik, walaupun pengamat berada di Jakarta (bukan di pusat bumi). Jika kita pindah ke kerangka acuan toposentrik (pengamat berada di permukaan bumi), maka akan terjadi sedikit pergeseran hasil di atas. Perlu diketahui, bulan termasuk benda langit yang berjarak cukup dekat dengan bumi. Akibatnya, disini kita harus memperhitungkan faktor paralaks, yaitu perubahan (kecil) posisi benda langit yang diamati, karena tempat pengamat yang berbeda.

Untuk mudahnya, posisi bujur ekliptika bulan di atas diukur menurut kerangka acuan geosentrik. Jika kemudian ada dua pengamat yang berada di tempat yang berbeda yang mengamati bulan pada waktu yang sama, maka bujur ekliptika bulan yang diamati oleh kedua pengamat akan sedikit berbeda. Misalnya, dua pengamat berada di Bandung dan Bangkok akan memperoleh hasil yang sedikit berbeda. Demikian pula dengan altitude bulan.

Umumnya, hasil yang penting untuk diketahui tentang posisi bulan adalah azimuth dan altitude bulan. Hal ini disebabkan, kedua posisi bulan tersebut penting untuk diketahui dalam hubungannya dengan pengamatan rukyat. Karena itu, berikut ini akan diberikan sedikit penjelasan mengenai koreksi paralaks untuk azimuth dan altitude bulan, jika kita ingin menggunakan kerangka acuan toposentrik.

Secara praktis, azimuth bulan tidak mengalami koreksi jika kita pindah dari koordinat geosentrik ke koordinat toposentrik. Sementara itu altitude bulan mengalami koreksi cukup besar ketika kita menggunakan kerangka acuan toposentrik. Akibat koreksi paralaks, altitude bulan secara toposentrik lebih kecil daripada altitude bulan secara geosentrik. Jika pengamat berada di Jakarta dengan lintang minus 6:10:0 (asumsi ketinggian 0 m), maka jarak pengamat ke pusat bumi dapat dihitung = rho = 0,9999616308 radius bumi (sering dibulatkan sama dengan satu). Silakan lihat tulisan penulis sebelumnya tentang JARAK DI PERMUKAAN BUMI. Sementara itu, sudut paralaks bulan secara geosentrik telah dihitung di atas = pi = 0:55:58 derajat. Juga, telah dihitung altitude bulan secara geosentrik di atas = h = 6:17:39 derajat. Untuk akurasi rendah, rumus koreksi paralaks untuk altitude = p dapat dituliskan sebagai

SIN(p) = rho*SIN(pi)*COS(h)

Dengan menggunakan data di atas, diperoleh nilai koreksi paralaks p = 0,927221 derajat = 0:55:38 derajat. Akhirnya, altitude bulan toposentrik = altitude bulan geosentrik – koreksi parallaks (p) = 6:17:39 – 0:55:38 = 5:22:01 derajat.
Pada file MS Excel tersebut di atas, tidak hanya posisi bulan saja yang dihitung dengan menggunakan algoritma Meeus, tetapi juga posisi matahari. Insya Allah pada tulisan mendatang, penulis akan menyajikan pembahasan mengenai cara menghitung posisi matahari dengan algoritma Meeus. Demikian pula, penulis juga Insya Allah akan membahas masalah koordinat toposentrik pada tulisan-tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat.

DR. Rinto Anugraha

Tengah menjadi peneliti pasca doktoral JSPS di Kyushu University sd September 2010.

Jangan Lewatkan