Pada kesempatan ini, penulis akan menjelaskan beberapa aspek tentang jarak (distance) di permukaan bumi. Penulis akan meninjau dua hal, yaitu jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi, serta jarak antara dua tempat di permukaan bumi. Pengetahuan tentang jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi ada hubungannya dengan transformasi dari koordinat geosentrik ke toposentrik. Transformasi dari geosentrik ke toposentrik sangat penting dalam menghitung posisi benda langit, seperti hilal, matahari, planet dan lain-lain dengan ketelitian tinggi. Sementara itu, jarak antara dua tempat akan berguna, misalnya ketika kita ingin menentukan jarak antara suatu tempat dengan Ka’bah.
Kita sering menyatakan bahwa bumi berbentuk bola. Dalam banyak hal, ungkapan ini memang ada benarnya, terutama untuk mempermudah pemahaman tentang posisi di bumi. Namun sebenarnya pernyataan ini tidak seluruhnya benar, sebab bumi lebih tepat disebut berbentuk elipsoida, mirip seperti telur (dengan mengabaikan gunung, lembah dan sebagainya. Model yang lebih baik daripada elipsoida adalah geoid, tetapi tidak dibahas disini.). Jari-jari bola selalu konstan di semua permukaan bola. Namun, jari-jari bumi atau lebih tepatnya jarak dari permukaan ke pusat bumi tidak sama di semua tempat. Jarak dari permukaan ke pusat bumi mencapai nilai maksimum di ekuator (garis katulistiwa) dan minimum di kutub, walaupun selisih antara maksimum dan minimum cukup kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi itu sendiri.
Setiap tempat di permukaan bumi dapat ditentukan dengan dua koordinat, yaitu bujur B (longitude) dan lintang L (latitude). Satuan koordinatnya adalah derajat. Satu derajat = 60 menit busur (arcminute) = 3600 detik busur (arcsecond). Seringkali menit busur dan detik busur cukup disebut menit dan detik saja. Namun demikian harap dibedakan dengan menit dan detik sebagai satuan waktu.
Garis bujur = 0 melewati kota Greenwich di London, Inggris. Sebelah timur Greenwich disebut bujur timur dan di sebelah barat Greenwich disebut bujur barat. Sesuai dengan kesepakatan umum, bujur timur bernilai positif dan bujur barat bernilai negatif. (Catatan: ada sejumlah literatur yang menulis sebaliknya, bujur barat bernilai positif, seperti Astronomical Algorithm karya Jean Meeus). Contoh: 120 BT (Bujur Timur) = 120 E (East) = 120 derajat. Sedangkan 135 BB (Bujur Barat) = 135 W (West) = -135 derajat. Seluruh bujur permukaan bumi dibagi ke dalam 360 derajat, yaitu dari -180 derajat hingga 180 derajat. Karena satu kali rotasi bumi = 24 jam, maka perbedaan waktu 1 jam berkonotasi dengan selisih bujur 15 derajat. Garis bujur 180 derajat terletak di Samudra Pasifik yang sekaligus merupakan garis batas tanggal internasional. Jika tepat di sebelah kiri (sebelah barat) garis tersebut hari Jumat siang, maka di sebelah kanannya (sebelah timurnya) masih hari Kamis siang.
Garis lintang = 0 sama dengan garis khatulistiwa (ekuator) yang membelah bumi menjadi dua bagian utara dan selatan. Kota Pontianak di Kalimantan Barat dilewati oleh ekuator. Di belahan bumi utara (lintang utara), lintang bernilai positif. Sebaliknya di bumi selatan (lintang selatan), lintang bernilai negatif. Contoh: 15 derajat LU (Lintang Utara) = 15 N (North) = 15 derajat. Sedangkan 30 derajat LS (Lintang Selatan) = 30 S (South) = -30 derajat. Kutub Utara (South Pole) = 90 N = 90, sedangkan Kutub Selatan (South Pole) = 90 S = -90. Jadi seluruh lintang permukaan bumi antara -90 hingga 90 derajat.
Dengan demikian, suatu tempat ditandai dengan koordinat bujur dan lintang. Koordinat tempat tinggal penulis saat ini terletak di bujur 130:25:57,11 E dan lintang 33:39:8,47 N. Kiblat shalat kita yaitu Ka’bah memiliki koordinat bujur 39:49:34,18 E = 39,82616111 derajat, dan koordinat lintang 21:25:21,03 N = 21,42250833 derajat [1]. Sebagai catatan, lintang Makkah yang lebih kecil daripada kemiringan sumbu rotasi bumi dengan sumbu bidang ekliptika bumi (yang nilainya saat ini sekitar 23:26:22 derajat) memungkinkan untuk matahari tepat berada di atas Ka’bah (Al-istiwa’ al-A’zham). Ini merupakan salah satu teknik klasik untuk menentukan arah kiblat, yaitu saat matahari tepat di atas Ka’bah. Insya Allah akan dibahas pada kesempatan lain.
Jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi
Di awal tulisan ini telah disebutkan bahwa bumi bukanlah berbentuk bola sempurna, melainkan elipsoida. Karena itu garis keliling bumi yang beririsan dengan garis khatulistiwa (lintang geografis = 0) tidak sama dengan garis keliing bumi yang melewati kutub utara dan kutub selatan. Jarak pusat bumi ke ekuator sedikit lebih besar daripada jarak pusat bumi ke kutub. Lihat gambar 1.
Jarak pusat bumi ke ekuator = a = 6.378.137,0 meter
Jarak pusat bumi ke kutub = b = 6.356.752,314 meter
Antara a dan b terdapat hubungan, yaitu b = a*(1 – f) dimana nilai f = 1/298,25722.
Eksentrisitas bumi = e = 0,08181919133.
(Jika bumi adalah bola sempurna, maka nilai e dan f sama dengan 0)
Gambar 1. Penampang lintang bumi. O adalah pusat bumi. OE = jarak pusat bumi ke ekuator. OK = jarak pusat bumi ke kutub.
Angka jari-jari di atas merujuk pada model WGS-84. Selanjutnya akan dihitung jarak antara pusat bumi seorang pengamat yang berada pada ketinggian H dari permukaan laut (bersatuan meter). Di permukaan bumi, pengamat tersebut terletak pada lintang geografis L. Perlu diketahui, ada pula yang disebut lintang geosentrik L’ (yaitu sudut antara garis pusat bumi-lokasi dengan garis pusat bumi-khatuslistiwa). Antara lintang geografis L (yang biasa digunakan) dengan lintang geosentrik L’ terdapat sedikit perbedaan nilai.
Rumus-rumus yang digunakan adalah sebagai berikut [2].
(Lambang * = perkalian. SQRT = akar pangkat dua. Sin = sinus. Cos = cosinus. Tan = tangen).
tan(u) = (b/a)*tan(L)
R*sin(L’) = (b/a)*sin(u) + (H/6378137)*sin(L)
R*cos(L’) = cos(u) + (H/6378137)*cos(L)
Nilai R*sin(L’) positif di belahan bumi utara (L > 0), dan negatif di belahan bumi selatan (L < 0).
Jarak antara pengamat tersebut dengan pusat bumi adalah
R = SQRT(R*sin(L’)* R*sin(L’) + R*cos(L’)* R*cos(L’))
Sedangkan Lintang geosentrik L’ adalah
Tan(L’) = (R*sin(L’))/( R*cos(L’))
Contoh:
Seorang pengamat berada di Monas (ketinggian 120 m) yang terletak di lintang 6:10:31,45 LS. Tentukan jarak pengamat tersebut ke pusat bumi.
Jawab:
H = 120 meter.
L = -6,175402778 derajat
Tan(u) = -0,1074225197 radian
R*sin(L’) = -0,1068585856
R*cos(L’) = 0,9942544525
Jarak pengamat ke pusat bumi adalah R = 0,9999803366 dengan satuan radius ekuator bumi = 6378,012 km.
Nilai R*sin(L’) dan R*cos(L’) sangat penting pada transformasi dari koordinat geosentrik (pengamat secara virtual di posisi pusat bumi) ke toposentrik (pengamat di permukaan bumi).
Jarak Dua Tempat di Permukaan Bumi
Diketahui dua tempat/posisi di permukaan bumi. Tempat pertama memiliki koordinat geografis bujur B1 dan lintang L1. Tempat kedua B2 dan L2. Jarak antara kedua tempat tersebut dapat diketahui. Ada dua rumus yang akan diberikan disini.
Rumus pertama adalah rumus sederhana yang mengasumsikan bahwa bumi berbentuk bola [2]. Sudut antara kedua tempat tersebut adalah d, dimana
cos(d) = sin(L1)*sin(L2) + cos(L1)*cos(L2)*cos(B1 – B2)
Jika sudut d dalam radian, maka jarak kedua tempat adalah s kilometer, yaitu
s = 6378,137*d [km]
Jika sudut d dalam derajat, maka jarak kedua tempat adalah s kilometer, yaitu
s = 6378,137*pi*d/180 [km] dimana pi = 3,14159265359.
Perlu diingat, 1 radian = 180/pi = 57.2957795 derajat.
Rumus kedua adalah rumus yang lebih kompleks dengan asumsi bahwa bumi berbentuk elipsoida [2]. Rumus kedua ini akan memberikan hasil yang lebih tepat, yang disajikan sebagai berikut.
U = (L1 + L2)/2.
G = (L1 – L2)/2
J = (B1 – B2)/2
M = sin(G)*sin(G)*cos(J)*cos(J) + cos(U)*cos(U)*sin(J)*sin(J)
N = cos(G)*cos(G)*cos(J)*cos(J) + sin(U)*sin(U)*sin(J)*sin(J)
tan(w) = SQRT(M/N) dimana w dalam radian
P = SQRT(M*N)/w
D = 2*w*a
E1 = (3*P – 1)/(2*N)
E2 = (3*P + 1)/(2*M)
Jarak antara kedua tempat adalah
s = D*{1 + f*E1*sin(U)*sin(U)*cos(G)*cos(G) – f*E2* cos(U)*cos(U)* sin(G)*sin(G)}
dimana a = 6378,137 km dan f = 1/298,25722 = 0,0033528107.
Contoh:
Tentukan jarak antara Ka’bah dengan Masjid Istiqlal dengan koordinat 106:49:50,64 BT dan lintang 6:10:11,2 LS.
Jawab:
B1 = 39,82616111 derajat
L1 = 21,42250833 derajat
B2 = 106,8307333 derajat
L2 = -6,169777778 derajat
Jika kita gunakan rumus pertama, maka
cos(d) = sin(L1)*sin(L2) + cos(L1)*cos(L2)*cos(B1 – B2)
cos(d) = 0,32230721
d = arccos(0,32230721) = 1,242630573 radian
Jarak antara Ka’bah dengan Istiqlal adalah s = 6378,137*1,242630573 = 7925,668 km.
Jika kita gunakan rumus kedua, maka diperoleh hasil sebagai berikut.
U = 0.133105184 radian
G = 0.24078812 radian
J = -0.5847252 radian
M = 0.338846395
N = 0.661153605
tan(w) = 0.715896517
w = 0.621315286 radian
P = 0.761799321
D = 7925.668033 km
E1 = 0.972087237
E2 = 4.847916358
Jarak antara Ka’bah dengan Masjid Istiqlal adalah
s = 7918.900 km = 7918 km 900 meter.
Sebagai catatan, kedua rumus di atas digunakan untuk dua tempat yang terletak di permukaan bumi (ketinggian = 0 dari permukaan laut). Tentu saja dalam realitanya, Ka’bah dan Masjid Istiqlal memiliki ketinggian tertentu dari permukaan laut.
Sebagai pembanding untuk kedua rumus di atas, Vincenty [3] telah menurunkan rumus untuk menentukan jarak antara dua titik. Rumusnya lebih rumit sehingga tidak diberikan disini, namun tingkat ketelitiannya sangat tinggi hingga orde milimeter. Untuk soal jarak Ka’bah – Masjid Istiqlal, rumus Vincenty memberikan hasil 7918 km 930 meter. Nampak bahwa rumus kedua memberikan hasil lebih dekat dengan rumus Vincenty dengan selisih hanya 30 meter. Namun demikian, rumus pertama jauh lebih simpel.
Jarak terpisah antara Ka’bah dan Indonesia berkisar pada orde 6000-an (Aceh) hingga 11.000-an (Papua) km. Jauhnya jarak ini bermakna bahwa jika arah kiblat kita melenceng 1 derajat saja dari arah yang benar, maka penyimpangannya sangat besar dari Ka’bah itu sendiri. Jika jarak yang terpisah adalah 8000 km, maka penyimpangan arah kiblat 1 derajat memberikan penyimpangan posisi kiblat dari Ka’bah sebesar 8000*1*pi/180 atau sekitar 140 km dari Ka’bah. Ini menunjukkan betapi pentingnya tempat shalat kita menunjuk pada arah kiblat yang benar.
File Microsoft Excel dan html
File Excel yang berisi tentang jarak dari permukaan bumi ke pusat bumi serta jarak antara dua tempat dengan menggunakan dua rumus dapat didownload di
http://ifile.it/73t2ebo
Adapun file html yang berisi JavaScript rumus Vincenty dapat didownload di
http://ifile.it/r53q9c7
yang merupakan modifikasi dari
http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty.html
Semoga bermanfaat.
Dr. Rinto Anugraha (Dosen Fisika UGM Yogyakarta)
Referensi:
[1] Menurut Google Earth, koordinat tersebut adalah koordinat titik tengah Ka’bah.
[2] Jean Meeus: Astronomical Algorithm, Willmann-Bell, Virginia, 1991.
[3] T. Vincenty: Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations, Survey Review, vol XXII no 176, 1975
(http://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/inverse.pdf)
